Расчетно-графические работы

 

 

Главная

 

Задача 1. Расчет статически неопределимых арок  

Для заданной статически неопределимой арки (рис.1) с выбранными по шифру из таблицы 1 размерами и нагрузкой при EI=const требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.

Схему загружения арки принять в виде, указанном на рис.2.

    

Таблица 1

Номер

строки

Схема

по рис.1

l, м

α

f/l

q1,

кН/м

q2,

кН/м

Очертание оси арки

01

1

16

0,25

0,20

2

0

Квадратная парабола

02

2

18

0,30

0,30

0

3

Окружность

03

3

20

0,35

0,16

4

0

Квадратная парабола

04

4

22

0,40

0,25

0

5

Окружность

05

5

24

0,45

0,45

6

0

Квадратная парабола

06

6

26

0,50

0,32

0

6

Окружность

07

7

28

0,55

0,15

3

0

Квадратная парабола

08

8

30

0,60

0,18

0

4

Окружность

09

9

32

0,70

0,14

0

2

Квадратная парабола

10

10

34

0,65

0,22

5

0

Окружность

11

11

16

0,25

0,20

2

0

Квадратная парабола

12

12

18

0,30

0,30

0

3

Окружность

13

13

20

0,35

0,16

4

0

Квадратная парабола

14

14

22

0,40

0,25

0

5

Окружность

15

15

24

0,45

0,45

6

0

Квадратная парабола

 

в

г

б

а

в

б

а

 

1 схема

 

2 схема

 

3 схема

 

4 схема

 

5 схема

 

6 схема

 

7 схема

 

8 схема

 

9 схема

 

10 схема

 

11 схема

 

12 схема

 

13 схема

 

14 схема

 

15 схема

Рис.1

 

Рис.2

 

Методические указания

В строительстве применяются в основном статически неопределимые арки двух видов: двухшарнирные и бесшарнирные.

Расчёт производится методом сил. В арках для вычисления перемещений в основной системе способ Верещагина вследствие криволинейности всех эпюр неприменим. Непосредственное интегрирование формулы Мора сложно, а порой и невозможно. Поэтому обычно интегрирование заменяется суммированием по участкам арки, например, по формуле Симпсона (способ параболических трапеций).

Для двухшарнирной арки, являющейся один раз статически неопределимой системой, основную систему получают, отбрасывая горизонтальную связь в одной из опор. Бесшарнирная арка является трижды статически неопределимой системой, для неё основную систему выбирают с введением жёстких консолей, свободные концы которых совпадают с упругим центром.

Способ упругого центра позволяет записать три независимых канонических уравнения, каждое из которых содержит только одно неизвестное.

Уравнение оси арки задаётся в двух вариантах:

1) при очертании оси по параболе

2) при очертании оси по окружности

 

Пример расчета статически неопределимой арки

Для параболической двухшарнирной арки постоянного поперечного сечения с заданными размерами и нагрузкой требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил (рис.3).

 

Рис.3

 

Решение.

Ось арки очерчена по квадратной параболе  отнесенной к началу координат на левой опоре.

Степень статической неопределимости арки n=3m-Ш=33-8=1.

Основную систему получаем, принимая за лишнее неизвестное реакцию распора (рис.4).

12

Рис.4

 

Каноническое уравнение метода сил:

Продольными и поперечными силами при определении коэффициентов канонического уравнения пренебрегаем.

Рассмотрим основную систему в двух состояниях: при загружении единичной силой Х1=1 и внешней нагрузкой (рис.5).

 

Безымянный

Безымянный

 

889789

 

456

Рис.5

 

Изгибающий момент в основной системе от внешней нагрузки совпадает с моментом однопролётной балки того же пролёта и такой же нагрузки:

Построим балочные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил  (рис.5).

При вычислении перемещений  и  используем интеграл Мора:

Внесём найденные зависимости в интеграл:

Произведём замену:

Тогда имеем:

Полученные интегралы невозможно вычислить точно, поэтому интегрирование заменим суммированием. Разобьём пролёт арки на восемь равных частей x=3 м  и, используя правило Симпсона, получим следующие выражения для  и  :

Дальнейший расчёт приведён в таблице 2-4.

Подставив численные значения величин ZX и ZP, получим следующие значения перемещений:

Горизонтальная составляющая опорной реакции

Внутренние силы в двухшарнирной арке находят по формулам:

Эпюры M, Q и N показаны на рис.6.

 

Таблица 2

Номер сечения

А

1

2

3

4

5

6

7

В

x, м

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y, м

0

1,75

3,0

3,75

4,0

3,75

3,0

1,75

0

0,667

0,5

0,333

0,167

0

-0,167

-0,333

-0,5

-0,667

sinφ

0,5544

0,4488

0,3173

0,165

0

-0,165

-0,3173

-0,4488

-0,5544

cosφ

0,832

0,8936

0,9483

0,9863

1,0

0,9863

0,9483

0,8936

0,832

0

67,5

81,0

67,5

54,0

40,5

27,0

13,5

0

 

Таблица 3

Номер сечения

А

1

2

3

4

5

6

7

В

31,5

13,5

-4,5

-4,5

-4,5

-4,5

-4,5

-4,5

-4,5

-17,464

-6,0588

1,428

0,752

0

-0,752

-1,428

-2,02

-2,495

26,208

12,064

-4,267

-4,438

-4,5

-4,438

-4,267

-4,021

-3,744

0

3,427

9,491

14,258

16,0

14,258

9,491

3,427

0

0

-132,19

-256,248

-256,641

-216,0

-153,985

-85,416

-26,438

0

0

28,07

48,12

60,15

64,16

60,15

48,12

28,07

0

 

Таблица 4

Номер сечения

А

1

2

3

4

5

6

7

В

8,893

7,199

5,089

2,647

0

-2,647

-5,089

-7,199

-8,893

13,345

14,333

15,211

15,82

16,04

15,82

15,211

14,333

13,345

0

39,43

32,88

7,35

-10,16

-19,65

-21,12

-14,57

0

17,315

4,865

-9,356

-7,085

-4,5

-1,791

0,822

3,178

5,149

-30,809

-20,392

-13,783

-15,068

-16,04

-16,572

-16,639

-16,353

-15,84

Кинематическая

проверка

0

-77,219

-104,018

-27,945

40,64

74,711

66,814

28,533

0

 

12

12

12

Рис.6

 

Выполним кинематическую проверку эпюры изгибающих моментов. Суть проверки заключается в том, что перемещение по направлению неизвестного x1  должно равняться нулю.

где М – эпюра изгибающих моментов для статически неопределимой арки;   - эпюра моментов от единичной силы x1 = 1 в основной системе (статически определимой).

Произведём замену: , тогда

Данный интеграл найден по правилу Симпсона:

Результаты расчёта приведены в таб.4, последняя строка (кинематическая проверка).

Погрешность составляет всего

Допустимой можно считать невязку до 2%.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет