Лекции

 

 

Главная

 

Раздел 3. Специальные разделы строительной механики

 

Часть 14. Динамика сооружений

 

14.1. Предмет и задачи динамики сооружений

 

Динамика сооружений - это один из специальных разде­лов строительной механики, посвященный методам расчета соору­жений на динамические нагрузки. Динамические нагрузки по своей природе весьма разнообразны. К такого рода воздействиям относятся природные явления, т.е. сейсмические толчки, ветровые порывы, а также различные динамические воз­действия технологического или аварийного происхож­дения: движение неуравновешенных частей машин и механизмов; падение летящего тела при соударение его с элементами конструк­ций; работа копров, молотов и других ударных механизмов; дви­жение поездов, кранов и т.д.

Особенностью динамических нагрузок является то, что при их действии сооружение переходит в состояние движения, причем при периодическом повторении динамических воздействий в опреде­ленных условиях происходит накопление энергии системы, выра­жающееся в постепенном увеличении амплитуды колебаний.

Это явление, называемое резонансом, особенно опасно для сооружения тем, что разрушение может произойти и при воздейст­виях с малой интенсивностью.

Существенным отличием динамических методов расчета от ста­тических является введение в уравнениях состояния нового пере­менного - времени и, ввиду их значительности, инерционных сил. При этом, если при решении аналогичных задач при статическом нагружении, уравнения состояния выражались при помощи алгеб­раических или трансцендентных уравнений, то соответствующая динамическая задача требует уже решения дифференциальных уравнений с производными по времени.

В динамике сооружений следует различать два типа движения или колебания системы. Колебания системы при отсутствии дей­ствия внешних сил называются свободными. Если колебания си­стемы сопровождаются действием внешних динамических нагру­зок, то колебания называются вынужденными.

Для описания динамических колебаний необходимо ввести в рассмотрение следующие понятия: круговая частота w и пе­риод колебаний . Круговая частота определяет число циклов колебания в течении  секунд, а период определяет интер­вал времени, в течении которого совершается полный цикл коле­баний.

Системы в динамике сооружений различаются по числу степе­ней свободы. Числом степеней свободы системы называет­ся число независимых геометрических параметров (обобщенных координат), определяющих положение системы (материальных то­чек) в любой момент времени при ее (их) движении. Число сте­пеней свободы системы складывается из числа степеней свободы материальных точек, принадлежащих системе. Число степеней сво­боды является основной характеристикой системы при динамиче­ских воздействиях.

В динамике сооружений различают два основных подхода: ки­нетостатический и энергетический.

Кинетостатический подход состоит в том, что сооружение в произвольный момент времени предполагается находящимся в равновесном состоянии под действием заданных динамических и вызванных ими инерционных нагрузок. Далее для составления уравнений состояния применяются классические методы строи­тельной механики (метод сил, перемещений или смешанный).

Энергетический подход основан в определении в равновес­ном состоянии через закон сохранения энергии с учетом инерци­онных сил. В частности, когда силы сопротивления движению не учитываются, энергетический принцип в общем случае записы­вается в виде:

,

где K - кинетическая энергия системы; V - потенциальная энергии системы или работа внешних или внутренних сил, так как система в процессе колебания находится в равновесном состоянии.

В настоящей книге при решении конкретных задач ограничим­ся применением кинетостатического подхода, а для вывода уравне­ния - метода сил.

 

14.2. Системы с одной степенью свободы

               

Рассмотрим систему в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m, горизонтальным перемещением и поворотом которого будем пренебрегать. При таких предпосылках единственная матери­альная точка, т.е. сосредоточенная масса величиной m может со­вершать перемещения только в вертикальном направлении, следо­вательно, система имеет одну степень свободы.

Рис.14.1

               

Будем исследовать дви­жение системы из ее ис­ходного положения равно­весия при t = 0 (рис.14.1, а), считая перемещение вниз положительным.

Пусть на балку дейст­вует динамическая сила ве­личиной: , где  - частота вынуждающей силы. Обозначая дополни­тельное перемещение мас­сы m от динамических на­грузок через y(t), вводим следующие начальные условия:

; .                                                                                                            (14.1)

В процессе движения на массу действует сила инерции  и сила сопротивления по Фойхту . Сила сопротивления движению возникает от различных внешних и внутренних причин: сопротивление движению внешней среды, тре­ние в местах соединения элементов и опорных частях, внутреннее неупругое сопротивление материалов конструкций и т.д.

Заметим, что система, обладающая свойствами внутреннего со­противления называется консервативной, а система, лишенная данного свойства - неконсервативной.

Вводим следующие обозначения:  - вертикальное перемеще­ние балки в точке закрепления массы m от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в той же точке;  - вер­тикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от динамической силы , при этом: ;  - верти­кальное перемещение балки в точке закрепления массы от дей­ствия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в точке приложения внешней силы  при ее отсутствии.

Применяя метод суперпозиции, очевидно, что, в произ­вольный момент времени полное перемещение сосредоточенной массы m принимает значение:

,                                                                                                   (14.2)

откуда и определяется дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы:

.                                                                                             (14.3)

Принимаем обозначения: - круговая частота соб­ственных колебаний системы; - коэффициент затухания.

С учетом введенных обозначений, уравнение движения системы (14.3) принимает вид:

.                                                                                                       (14.4)

Решение дифференциального уравнения (14.4), с учетом началь­ных условий (14.1) и, учитывая, что для реальных конструкций всегда выполняется , записывается в виде:

.                                            (14.5)

Здесь приняты следующие обозначения:

; ; .                                                                       (14.6)

Круговая частота  называется круговой частотой соб­ственных колебаний системы с учетом сил затухания.

Коэффициент затухания колебания определяется по коррек­тированной гипотезе Фойхта, позволяющей получить наи­более обоснованные результаты для учета диссипации энергии в системе в процессе колебаний, т.е.:

,                                                                                                                            (14.7)

где  - называется логарифмическим декрементом зату­хания и определяется через отношения соседних амплитуд коле­бания, возникающих через промежуток времени :

.                                                                                                                                  (14.8)

Для различных конструкций средние значения  приводятся в таблице 14.1.

 

                                                                                                                                                      Таблица 14.1

Наименование конструкции

Стальные мосты

Железобетонные мосты

Железобетонные балки

Железобетонные рамы

Железобетонные ребристые перекрытия

0,17

0,63

0,56

0,25

0,57

 

Выражение (14.5) определяет перемещение сосредоточенной массы при действии силы , изменяющейся во времени по произвольному закону. Первый член выражения характеризует соб­ственные колебания системы, а второй, интегральный член - вы­нужденные колебания.

Так как , то решение (14.5) преобразуется и при­нимает вид:

.                                                                                       (14.9)

Здесь приняты следующие обозначения:

;   ;   .                                      (14.10)

Если в момент времени t = 0 система находится в состоянии покоя, т.е. , то решение (14.9) с учетом (14.10) преобра­зуется в виде:

.

Величина kД называется коэффициентом динамичности и характеризует эффект от динамической нагрузки по отношению к аналогичной статической нагрузке величиной P(t) = P0 = const.

Коэффициент динамичности существенно зависит от отноше­ния . При  коэффициент динамичности стремится принять максимальное значение и колебания системы при  называются резонансными, а амплитуда колебаний принимает опасное значение:

.

 

14.3. Пример расчета балки в виде системы

с одной степенью свободы

 

Проверить прочность бал­ки в рабочем режиме вибрато­ра, расположенного по середи­не пролета балки (рис.14.2, а), учитывая только вертикальную составляющую вертикальной силы: , прини­мая: G = 15 кН - вес вибрато­ра; Р0 Pa = 3 кН - вес не­уравновешенных частей вибра­тора; e = 0,01 м - эксцентриси­тет относительно оси враще­ния неуравновешенных частей;  = 30 с-1 - круговая частота внешней силы; l = 4 м - про­лет балки. Поперечное сечение балки выполнено из двутавра №20, материал Ст3. Следо­вательно, Е=2,1×108 кН/м2 - мо­дуль деформации материалов; Jx =1,84×10-м4 - момент инер­ции; Wx = 1,84×10-м- момент сопротивления поперечного сече­ния; R = 25×10кН/м- расчетное сопротивление;  = 0,1 - лога­рифмический декремент. Интенсивность распределенных нагрузок принимается равной: q = 4 кН/м.

На первом этапе для выполнения расчетов необходимо  определить величину коэффициента динамичности. Для этого сначала определим величину коэффициента затухания .

Воспользуемся эпюрой моментов, изображенной на рис.14.2, б и по формуле Мора определим :

.

Круговая частота собственных колебаний без учета затуханий:

 c-1.

 

Рис.14.2

               

Собственная частота системы с учетом затухания колебания принимает значения:

 c-1.

Коэффициент динамичности определяется из (14.10) по фор­муле:

.

Последовательно определим максимальное значение момента в опасном сечении (рис.14.2, вг) от статических и динамических сил:

 кН×м;

 кН×м.

Максимальное напряжение в опасном сечении принимает зна­чение:

 кН/м2,

т.е. прочность конструкций обеспечена.

 


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет