Главная

15.4. Общий случай нагружения тонкостенного стержня.

Бимомент

В общем случае нагружения осевые перемещения сечения тонкостенного бруса можно представить в виде следующего выражения:

, (15.8)

где , и характеризуют: смещение по продольной оси z; поворот сечения как жесткого целого относительно координатных осей x и y; g - удельный угол закручивания относительно продольной оси z, - эпюра главной секториальной площади.

Нормальные напряжения в сечении, согласно закону Гука, в данном случае определяются согласно выражения:

. (15.9)

С учетом последнего выражения, формулы по определению внутренних силовых факторов от нормальных напряжений s, примут вид:

(15.10)

Здесь через B_w обозначена новая силовая характеристика, называемая бимоментом, размерность которой будет кН×м².

В результате совместного рассмотрения (15.9) и (15.10) выражение нормальных напряжений можно представить в следующем виде:

. (15.11)

Первые три слагаемых уже известные нам величины нормальных напряжений из курса «Сопротивления материалов», являются результатом действия продольной силы и изгибающих моментов. Что же касается четвертого слагаемого, то оно характеризует изменения, вносимые в линейные законы распределения напряжений, депланацией сечения, силовой мерой которой является бимомент.

Заметим, что бимомент является самоуравновешенным фактором и по методу сечений не может быть определен. Следовательно, задача в общем случае нагружения тонкостенного стержня является статически неопределимой. Например, если нагрузить стержень двутаврового сечения четырьмя равными силами Р (рис.15.5), бимомент в торцевом сечении будет равен:

, (15.12)

где - значение секториальной площади для точки приложения силы P_i, т.е.:

.

Рис.15.5

В этом случае, очевидно, что и продольная сила N, и изгибающие моменты M_x , M_y равны нулю.

Касательные напряжения в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения слагаются из касательных напряжений поперечного изгиба, простого (свободного) кручения, и наконец, из вторичных касательных напряжений, возникающих за счет стесненного кручения:

. (15.13)

Следовательно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях тонкостенного стержня возникают следующие внутренние усилия: Q_x, Q_y- поперечные силы, от касательных напряжений t_x, t_y ; M_x, M_y -изгибающие моменты, от нормальных напряжений s_z ; M_z - крутящий момент свободного кручения от касательных напряжений t_g; B_w - бимомент от действующих нормальных напряжений s_w, вследствии изгиба элементов тонкостенного стержня; M_w - изгибно-крутящий момент от дополнительных касательных напряжений t_w.

Формулы для вычисления перечисленных факторов даны в таблице 15.1, где приняты следующие обозначения: u, v - перемещения линий центров изгиба сечений в направлении координатных осей x и y; - соответственно, статические моменты относительно координатных осей и секториально статический момент отсеченной части сечения, расположенной по одну сторону от расчетной точки.

Все эти величины легко определяются, если известна функция g(z). Последняя может быть найдена из условия равенства суммы крутящих моментов стесненного и свободного кручения полному крутящему моменту:

. (15.14)

Подставляя в (15.14) значения и из табл. 15.1, получим:

. (15.15)

Дифференцируя (15.15) по z, имеем:

, (15.16)

или

, (15.17)

где - изгибно-крутильная характеристика поперечного сечения стержня; -распределенный крутящий момент.

Таблица 15.1

Силовой фактор	Усилие	Напряжение
Поперечная сила Qx, Qy	,	,
Изгибающий момент Mx, My	,	,
Крутящий момент при свободном кручении тонкостенного стержня постоянной толщины стенки d, Mz
Крутящий момент при стесненном кручении тонкостенного стержня постоянной толщины стенки d, Mw
Бимомент Bw

Рис.15.6

Рассмотрим случай кручения, когда на свободном конце тонкостенного стержня, защемленного с другим концом, действует крутящий момент (рис.15.6). В этом случае имеем:

, (15.18)

интеграл которого записывается:

. (15.19)

Откуда имеем:

(15.20)

Для определения C₁, C₂, C₃ и C₄ с учетом граничных условий:

при z = 0, и ;

при z = l, и , (15.21)

получим:

(15.22)

Учитывая выражения произвольных постоянных (15.22) из (15.19) и (15.20), будем иметь:

(15.23)

Здесь shx и chx - гиперболический синус и гиперболический косинус, соответственно, аргумента x:

. (15.24)

Значения гиперболических функций при заданном аргументе приводятся в таблице 12.7.

В заключении, учитывая (15.23) и выражения усилий из таблицы 15.1, окончательно получим:

(15.25)

Заметим, что существует полная аналогия в основных зависимостях теории стесненного кручения стержней открытого и замкнутого профилей. Основные расчетные зависимости теории расчета стержней замкнутого профиля можно получить, путем замены в приведенных выше зависимостях для расчета стержней открытого профиля, уже известных нам секториальных координат и секториальных геометрических характеристик сечений , J_w и т.д., на обобщенные величины , и т.д., для замкнутого профиля.

При этом, главная обобщенная секториальная координата , для замкнутого профиля (рис.15.7), определяется:

Рис.15.7

где - секториальная координата, вычисляемая по аналогии теории стержня открытого профиля; r - длина перпендикуляра, опущенного из полюса А, взятого внутри контура, на касательную к контуру; - параметр, условно называемый «средним радиусом» замкнутого контура; W - удвоенная площадь, охваченная срединной линией контура s; -приведенная длина дуги данной точки контура.

Главный обобщенный секториальный момент сечения и секториальный статический момент для замкнутого контура определяются по формулам:

,

где .

---

email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Теоретическая механика Сопротивление материалов

Прикладная механика Детали машин Теория машин и механизмов

00:00:00